该文档是UAT-UK为TMUA和ESAT Mathematics 2考试编写的数学笔记，涵盖代数与函数、序列与级数、坐标几何、三角函数、指数与对数、微分、积分以及函数图像等多个板块，详细介绍了考试所需的知识点、公式、例题及解题方法等内容。以下是各部分的简单总结：
### 一、代数与函数（Algebra and functions）
- **指数定律（Laws of indices）**
- 涵盖正整数、有理数指数的运算规则，如 \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)、\(a^{-m} = \frac{1}{a^m}\)、\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\) 等，强调 \(a > 0\) 时规则成立。
- **根式运算（Surds）**
- 包括根式化简（如 \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\)）、有理化分母（如 \(\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)）及因式分解技巧。
- **二次函数（Quadratic functions）**
- 涉及配方法、判别式（\(b^2 - 4ac\)）判断根的情况、顶点坐标求解及图像性质（开口方向、对称轴等）。
- **联立方程（Simultaneous equations）**
- 重点讲解一线性一二次方程的代入法求解，以及解的几何意义（图像交点）。
- **不等式（Inequalities）**
- 需注意乘除负数时符号变化，二次不等式可通过因式分解结合图像求解，含绝对值的不等式需结合几何意义分析。
- **多项式运算（Polynomials）**
- 包括展开括号、因式分解、多项式除法，以及因式定理（\(f(a)=0 \Rightarrow (x-a)\) 是因式）和余数定理（除以 \(x-b\) 的余数为 \(f(b)\)）。
- **函数概念（Functions）**
- 强调函数是单值映射，区分一对一和多对一函数，熟悉常见函数如 \(\sqrt{x}\)、\(|x|\) 的图像与性质。
### 二、序列与级数（Sequences and series）
- **序列（Sequences）**
- 包括通项公式和递推关系（如 \(x_{n+1} = f(x_n)\)），需通过前几项寻找规律。
- **等差数列（Arithmetic series）**
- 通项公式 \(u_n = a + (n-1)d\)，前 \(n\) 项和 \(S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)\)。
- **等比数列（Geometric series）**
- 通项公式 \(u_n = ar^{n-1}\)，前 \(n\) 项和 \(S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\)（\(r \neq 1\)），无穷项和 \(S_\infty = \frac{a}{1-r}\)（\(|r| < 1\)）。
- **二项式展开（Binomial expansion）**
- 对于正整数 \(n\)，\((a + f(x))^n\) 的展开式，利用组合数 \(\binom{n}{k}\) 求特定项，如常数项、\(x^k\) 项系数。
### 三、坐标几何（Coordinate geometry）
- **直线方程（Straight lines）**
- 点斜式 \(y - y_1 = m(x - x_1)\)，一般式 \(ax + by + c = 0\)，平行（斜率相等）和垂直（斜率乘积为 \(-1\)）的条件，以及两点求方程的方法。
- **圆的方程（Circle）**
- 标准式 \((x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\)，一般式 \(x^2 + y^2 + cx + dy + e = 0\)，需通过配方法求圆心和半径，切线与圆的位置关系可通过判别式判断。
- **圆的性质（Circle properties）**
- 包括弦的中垂线过圆心、切线与半径垂直、圆周角与圆心角关系、半圆内直角等定理。
### 四、三角函数（Trigonometry）
- **正弦定理与余弦定理（Sine and cosine rules）**
- 正弦定理 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)，注意“边边角”的歧义情况；余弦定理 \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\)，用于求边或角，三角形面积公式为 \(\frac{1}{2}ab\sin C\)。
- **弧度制（Radian measure）**
- 1 弧度为弧长等于半径的圆心角，弧长 \(l = r\alpha\)，扇形面积 \(S = \frac{1}{2}r^2\alpha\)。
- **三角函数值与图像（Trig functions and graphs）**
- 熟记 \(0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ\) 的正弦、余弦、正切值，掌握 \(y = \sin x\)、\(y = \cos x\)、\(y = \tan x\) 的周期性、对称性及图像变换。
- **三角恒等式（Trig identities）**
- 如 \(\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\)、\(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)，用于解方程（如 \(12\cos^2x + 6\sin x - 10 = 2\)）。
### 五、指数与对数（Exponentials and logarithms）
- **指数函数（Exponential functions）**
- \(y = a^x\) 的图像性质：\(a > 1\) 时递增，\(0 < a < 1\) 时递减，\(a = 1\) 时为常函数。
- **对数函数（Logarithms）**
- 定义 \(a^b = c \Leftrightarrow b = \log_a c\)，对数运算法则：\(\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y\)、\(\log_a x^k = k\log_a x\)，解指数方程（如 \(3^{2x} = 4\)）时可两边取对数。
### 六、微分（Differentiation）
- **导数的概念（Derivative as gradient）**
- 导数为切线斜率，也是变化率，二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2}\) 表示一阶导数的变化率，常见符号有 \(f'(x)\)、\(\frac{dy}{dx}\)。
- **求导法则（Differentiation rules）**
- 幂函数求导 \(\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}\)，可用于求切线、法线方程及判断函数单调性（\(f'(x) > 0\) 递增，\(f'(x) < 0\) 递减）。
- ** stationary points（驻点）**
- 驻点处 \(f'(x) = 0\)，通过二阶导数判断极值：\(f''(x) > 0\) 为极小值，\(f''(x) < 0\) 为极大值。
### 七、积分（Integration）
- **定积分与面积（Definite integral and area）**
- 定积分表示曲线与坐标轴围成的“带符号面积”，实际面积需分正负区域计算，如 \(\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)\)（\(F'(x) = f(x)\)）。
- **积分法则（Integration rules）**
- 幂函数积分 \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（\(n \neq -1\)），可通过拆分多项式化简后积分。
- **梯形法则（Trapezium rule）**
- 用于近似计算面积，公式为 \(\frac{h}{2}(y_0 + 2y_1 + 2y_2 + \dots + 2y_{n-1} + y_n)\)，需判断估计值是高估还是低估。
- **微分方程（Differential equations）**
- 形如 \(\frac{dy}{dx} = f(x)\) 的方程，通过积分求解，结合初始条件确定常数项，如 \(y = 5\) 当 \(x=1\) 时，求 \(y = x^3 + 2x^2 - 3x + c\) 中的 \(c\)。
### 八、函数图像（Graphs of functions）
- **常见函数图像（Common functions）**
- 包括直线、二次/三次函数、三角函数、指数/对数函数、根式及绝对值函数，需掌握形状、交点及变换规律。
- **图像变换（Transformations）**
- 如 \(y = af(x)\) 为垂直伸缩，\(y = f(x+a)\) 为水平平移，\(y = f(ax)\) 为水平伸缩，组合变换需注意顺序。
- **图像分析（Graph analysis）**
- 利用导数求驻点、单调性，代数方法求坐标轴交点，多项式实根个数与图像交点的关系，两图像交点对应联立方程的解。
